WARNING:
JavaScript is turned OFF. None of the links on this concept map will
work until it is reactivated.
If you need help turning JavaScript On, click here.
This Concept Map, created with IHMC CmapTools, has information related to: ikosahedroniskaala, 12-sävel skaala ja ikosahedronin geometria Ikosahedristä harmoniaoppia: III Kolmea eri kvintti-intervalli- tyyppiä: sen mukaan ovatko naapuri kolmisoinut 0-, 1-, tai 2- kvinttisiä. Näiden kolmen intervallityypin jakauma pitkin käyrää karakteri- soi myös harmoniaa. Jollei mitään lisärajoituksia niin erilaisten jakaumien määrät helppo arvioida. 12 laatikkoa joihin laitetaan kolmivärisiä palloja. Lukumäärät p11, p12 ja p22= 20-p11-p12. N= Bin(12,p11)*Bin(12-p11,p_12) Tämä vain yläraja. Kaikki jakaumat eivät sallittuja. Johtopäätös: tarvitaan numeerinen lasku sallittujen harmonioiden määräämiseksi., 12-sävel skaala ja ikosahedronin geometria Ikosahedroni ja 12-sävel-skaala 12-sävel skaalalla voidaan esit- tää suurin osa länsimaista mu- siikkia tyydyttävästi. Havainto: Ikosahedroni on Platoninen so- lidi jolla on 12 verteksiä! Lisäksi 30 sivua, ja 20 tahoa, jotka kolmioita. 5 sivua ja 5 kolmiota yhdestä verteksistä. Kysymys: Voisiko olla mahdollista kuvata 12-sävel skaala ikosa- hedronin vertekseille käyränä jonka sivut yhdistävät naapuri-verteksejä ja joka kulkee jokaisen verteksin kautta vain kerran ja palaa alkupistee- seen (oktaavi-ekvivalenssi)? Jos otetaan kvinttikierto lähtö- kohdaksi niin jokainen käyrään liittyvistä 12 sivusta vastaa kvinttiä., 12-sävel skaala ja ikosahedronin geometria Hamiltonin sykli skaalana Hamilton formuloi saman ongel- man Platonisille solideille. On- gelma voidaan formuloida mille tahansa graafille. Esimerkiksi monistojen topologia voidaan määritellä triangulaation avulla ja kyseessä on graafi. Hamilton huomasi, että dodeka- hedronille jolla 20 verteksiä saadaan yksikäsitteinen suljettu käyrä modulo ikosahedronin symmetriat, jotka kiertävät käyrää mutta säilyttävät sen geometrisen muodon. 20-sävel skaala voisi liittyä itä- maiseen musiikkiin jossa neljäs- osa-intervalleja. Ikosahedroni ongelmallisempi: tarvitaan numeerinen lasku. 2^(10)=1024 Hamiltonin sykliä, jotka jakaantuvat ekvivalenssilu- okkiin rotaatioiden suhteen. Jo- kainen ekvivalenssiluokka mää- rittelee skaalan esityksen ja käy- rän muoto ilmeisesti yhden mahdollisen harmoniakäsityk- sen., 12-sävel skaala ja ikosahedronin geometria Ikosahedristä harmoniaoppia: II Kullakin käyrän sivulla (kvintti- inter-valli) 2 naapuria. Kolme eri kvinttityyppiä: *naapurit 1- ja 2- kvintin sointuja : p12 kpl, *molemmat naapurit 1-kvintin sointuja: p11 kpl, *molemmat naapurit 2-kvintin sointuja: p22 kpl. Ehtoja: *p12+p11+p22=12 *p12+ 2*p11= n1 *p12+2*p22= 2*n2 Yhtälöt eivät riippumattomia: muutoin ei löytyisi kokonais- lukuratkaisuja. p11= (n1-p12)/2 p22=p11+n2-n1/2=n2-p12/2 p12 varioi kuitenkin niin että p11 ja p22 ei-negatiivisia. Luokkaa 6-7 ratkaisua. Lisäkarakterisointi harmonialle., 12-sävel skaala ja ikosahedronin geometria Ikosahedristä harmonia-oppia: I Ikosahedronin kolmiot vastaavat perus-kolmisointuja ja se mitä ne ovat määrää harmoniakäsityk- sen. Kolmenlaisia kolmisointuja sen mukaan kuinka monta skaalakäy- rän sivua kuuluu kolmioon. Sivu vastaa kvinttiä. Kvintittömät, 1-kvinttiset (ehkä duuri tai molli- kolmisoinnut) ja kaksi-kvinttiset 3-soinnut (esim. C-G-D) Lukumäärät n0,n1, n2 eri soin- tutyypeille määräävät osittain harmonian. n0+n1+n2=20 ja n1+2*n2= 2*12=24 . Tästä n0=n2-4 ja n1= 24-2n2 n2 =4,5,...,12 . 8 perusharmoniatyyppiä.
